이 계열의 다른 면 (6)

t 분포 자유도

H3의 z에 맞춘 Student-t의 자유도 — 꼬리의 두께

핵심

Huchra 목록의 z에 맞춘 Student-t의 자유도는 Planck 기준 ν = 2.30(1.91–2.98), Riess 기준 1.97(1.62–2.51)다 — 정규분포(ν → ∞)보다 훨씬 두꺼운 꼬리다.
표 A2는 2.30와 1.69로 같은 자릿수이고, 물리 상수 장의 판 쌍 ν 1.00, Bailey(2017)의 1.81 과도 같은 자릿수다.

정의: H3의 z에 중심 0의 Student-t 분포를 최대우도로 맞춘 자유도 ν와 척도 s. ν가 작을수록 꼬리가 두껍다(정규분포는 ν → ∞). 기준값마다 따로 맞춘다.
공식: z ~ s · t(ν), ν·s는 최대우도. z = 0인 행은 뺀다(척도 0에서 우도가 발산). 95% 구간은 연도 군집 부트스트랩 2,000회.
분모: H3과 같은 행: Huchra 목록 548건, 표 A2 163건(Planck 기준 162건).
읽는 법: Huchra 목록의 ν는 Planck 기준 2.30(95% 구간 1.91–2.98), Riess 기준 1.97(1.62–2.51)다. 표 A2는 2.30(1.53–12.21)와 1.69(1.26–2.60). 물리 상수 장 M4의 판 쌍 ν는 1.00, Bailey(2017)가 기본 상수의 개별 측정 쌍에서 얻은 ν는 1.81 ± 0.15다.
한계: ν가 2 안팎이면 분산이 정의되지 않는 꼬리다. 표 A2의 Planck 기준 구간은 위쪽이 넓게 열려 있어(1.53–12.21) 표본 163건으로는 꼬리 두께를 좁혀 말하기 어렵다. H3과 같은 한계(기준값 선택, 독립성, 오차 수준 미표기)가 그대로 적용된다.

관측(표 A2)정규분포Student-t

표 A2, Planck 2018 기준: |z|가 가로축 값을 넘는 행의 비율(세로축 로그)과 맞춘 Student-t(ν = 2.30, s = 1.22). Huchra 목록은 집계만 싣는 자료라 그림을 그리지 않는다.

관측(표 A2)정규분포Student-t

표 A2, Riess 외 2022 기준: |z|가 가로축 값을 넘는 행의 비율(세로축 로그)과 맞춘 Student-t(ν = 1.69, s = 1.13). Huchra 목록은 집계만 싣는 자료라 그림을 그리지 않는다.

계열	시작	기준값	n	제외	ν	95% 구간	척도 s	95% 구간
Huchra 목록	1929년부터	Planck 2018	548	0	2.30	1.91–2.98	1.32	1.12–1.61
Huchra 목록	1929년부터	Riess 외 2022	548	0	1.97	1.62–2.51	1.41	1.17–1.71
Huchra 목록	1950년부터	Planck 2018	543	0	2.47	2.04–3.19	1.32	1.14–1.61
Huchra 목록	1950년부터	Riess 외 2022	543	0	2.06	1.70–2.65	1.41	1.18–1.70
표 A2	1976~2019	Planck 2018	162	1	2.30	1.53–12.21	1.22	0.89–1.85
표 A2	1976~2019	Riess 외 2022	163	0	1.69	1.26–2.60	1.13	0.83–1.53
합친 계열(감도)	1929년부터	Planck 2018	641	1	2.24	1.87–2.82	1.30	1.10–1.57
합친 계열(감도)	1929년부터	Riess 외 2022	642	0	1.87	1.56–2.33	1.34	1.12–1.62
합친 계열(감도)	1950년부터	Planck 2018	636	1	2.37	1.99–3.07	1.30	1.11–1.56
합친 계열(감도)	1950년부터	Riess 외 2022	637	0	1.94	1.61–2.41	1.34	1.11–1.60

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자료 출처: J. Huchra, Estimates of the Hubble Constant (hubble.plot.dat, last updated 2010-10-07), Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics; assembled as part of the NASA/HST Key Project on the Extragalactic Distance Scale. Aggregates only. · Faerber, T.; López-Corredoira, M. A Chi-Squared Analysis of the Measurements of Two Cosmological Parameters over Time. Universe 2020, 6, 114, doi:10.3390/universe6080114, Appendix Table A2 (read from arXiv:2008.04035v1). CC BY 4.0.