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M4
꼬리 두께
판간 이동 z 분포에 맞춘 Student-t 자유도
핵심
- 판간 이동 z의 분포는 정규분포(종 모양)보다 꼬리가 훨씬 두껍다 — 아주 크게 빗나가는 일이 정규분포가 예상하는 것보다 훨씬 잦다.
- Student-t 자유도는 ν = 1.00으로 코시 분포(ν = 1)에 가깝다(정규분포는 ν = ∞, 작을수록 꼬리가 두껍다).
- 실무로 옮기면, 공표된 표준불확도의 3배 밖으로 움직이는 일(|z| > 3)도 드물지 않다 — 판 쌍의 9.1%.
- 정의
- 값이 바뀐 연속 판 쌍의 z(M2)에 중심 0인 Student-t 분포를 최대우도로 맞춘다. Student-t는 꼬리(분포의 양 끝) 두께를 자유도 ν로 조절하는 분포다. ν가 작을수록 꼬리가 두꺼워 아주 큰 이동이 잦다(ν=1이면 코시 분포, ν→∞ 이면 정규분포).
- 공식
- z ~ s · t_ν, ν·s를 최대우도로 추정. 95% 구간은 상수 군집 부트스트랩 2,000회. 값이 한 자리도 바뀌지 않은 쌍(z = 0)은 뺀다.
- 분모
- 핵심 상수 17개의 연속 판 쌍 132개 중 값이 바뀐 122개.
- 읽는 법
- ν = 1.00(95% 구간 0.75–1.54), 척도 s = 0.38(0.20–0.71). ν가 1 안팎이면 코시 분포에 가까운 꼬리로, 아주 큰 이동이 정규분포보다 훨씬 흔하다. 1998 판 이후 쌍만으로는 ν = 0.92(0.69–1.30). 참고로 Bailey(2017)가 상수 7개의 개별 측정 쌍에서 얻은 값은 ν = 1.81 ± 0.15다.
- 한계
- 값이 한 자리도 바뀌지 않은 쌍(z = 0)을 남기면 최대우도 추정량이 존재하지 않는다 — 척도 s를 0 쪽으로 보낼수록 우도가 끝없이 커지기 때문이다(ν가 0.08 미만일 때). 그래서 그 10개 쌍은 빼고 맞췄고, 그 수는 M2에 따로 적었다. Bailey의 값은 개별 실험 측정끼리의 비교이고 이 사이트의 z는 권고값 판끼리의 비교라서 두 ν는 같은 양이 아니다 — 권고값은 여러 측정을 가중 평균하고 일부를 빼거나 불확도를 키운(확장 인자) 결과다. 척도 s가 1보다 작은 것은 판 사이 자료 공유(M2 한계)를 반영한다. 표본이 작아 구간이 넓다.
| 묶음 | 판 쌍 | 상수 | ν | 95% 구간 | s | 95% 구간 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 값이 바뀐 판 쌍 | 122 | 17 | 1.00 | 0.75–1.54 | 0.38 | 0.20–0.71 |
| 값이 바뀐 판 쌍, 1998~2022 | 87 | 17 | 0.92 | 0.69–1.30 | 0.29 | 0.15–0.54 |
| Bailey 2017 (상수, 개별 측정 쌍) | 9,098 | 7 | 1.81 ± 0.15 | 0.89 ± 0.06 |